一、导数

2. 可导与连续的关系

• 函数可导一定能够推出函数连续，但是函数连续不代表函数可导。

• 可导的定义是：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• 而连续的定义是：

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y = 0$$

• 又因为 $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x = 0$，所以：

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f'(x_0)\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0$$

3. 单侧导数

• 使用单侧导数的时候：

  • 如果一个函数在 $x=x_0$ 两侧的函数解释式不同，需要用单侧导数。
  • 如果一个函数在 $x=x_0$ 两侧的函数解析式相同，但是函数的变化趋势不同，需要单侧导数。

4. 可导的充要条件

• 如果导数存在，是可以推极限的：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(\Delta x+x_0)-f(x_0)}{\Delta x}$$

• 但是这个式子从右往左推，不一定推的动，需要保证：

  • 当 $\Delta x \rightarrow 0$（双向，左右极限都要有）
  • 连续性必须保证，大的原则是 $f(x_0)$ 不能有变量。

6. 导数的几何意义

• 可导可以推出切线和法线，但是不可导不一定就代表没有切线和法线。比如 $f(x)=\sqrt[3]{x}$，这个函数在 $x=0$ 处是没有导数的，但是是存在切线 $x=0$ 的。

• 一个常见的误区：在计算 $f'(x_0)$ 的时候，采用先求导再代值的方法时，不一定能够得到正确的答案。

$$f'(x_0) = f'(x)|_{x=x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)$$

• 上面这个式子成立的前提是 导函数在 $x=x_0$ 处有定义且 $\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)$ 存在，所以如果不满足这两个条件，这个式子是推不通的。

举例：

$$f(x)=\begin{cases}x^2\sin{\frac1x},\ \ x\neq 0\\0,\ \ x=0\end{cases}$$

• 如果采用先求导数再代值的方法，会有下面的结果：

$$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}(2x\sin{\frac1x}+\cos{\frac1x})\Rightarrow 不存在极限$$

• 正确的做法应该是采用定义法：

$$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}x\sin{\frac1x}=0$$

二、导数的计算

2. 导数运算法则

$$[f(x)+g(x)]' = f'(x)+g'(x)\\[2ex] [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\[2ex] [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{g(x)f'(x)-g'(x)f(x)}{[g(x)]^2} ,\ g(x)\neq 0$$

四则运算的证明举例：

$$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$

• 假设 $f(x) = u(x)v(x)$，则有：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{w(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x}\\[2ex]=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x+\Delta x) v(x)]+u(x+\Delta x) v(x)-u(x) v(x)]}{\Delta x}\\[2ex]=\lim _{d x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}+\frac{v(x)[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}\\[2ex]=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} u(x+\Delta x)v'(x)+v(x)u'(x)=u(x)v'(x)+u(x)$$

4. 对数求导法则

• 关于幂指函数 $y=f(x)^{g(x)}(f(x)>0)$ 最常用的方法就是两边同时取对数，得到：

$$\ln y = g(x) \ln f(x) \Rightarrow \frac{y'}{y}=g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}$$

6. 变限积分函数

• 变限积分函数中 $x$ 的定义域是全体实数，而不是 $x\geq a$。

• 对于形如 $F(x) = \int_{a}^xf(x,t)dt$ 的导数的计算，核心思想是将 $x$ 挪出去。如果能够直接通过四则运算分离的就直接分离，如果不能分离的采用换元的方式，令括号中的整体为 $u$ ,通过改变积分上下限的方式，将 $x$ 分离出来。

四、微分

1. 定义

• 微分 $\Delta y = A\Delta x+o(\Delta x)$，而 $dy = f'(x)\ dx = A \Delta x$，需要比较 $\Delta y$ 和 $dy$ 的关系，主要有两种考法：

  • 比较 $\Delta y$ 和 $dy$ 的大小，两者的差值是 $\Delta y - dy = o(\Delta x)$。解题方法有：（1）画图：通过研究单调性，凹凸性画图。再根据几何定义：$dy$ 是切线的增量，$\Delta y$ 是曲线的增量，比较两者大小。（2）拉格朗日中值定理。
  • 考察等价无穷小的关系：只要 $f'(x)\neq 0$，$dy$ 和 $\Delta y$ 就是等价无穷小；$f'(x)= 0$ 时，函数是常数，则有 $dy = \Delta y$。

$$\frac{\Delta y}{dy} = \frac{dy+o(\Delta x)}{dy}=1+\frac{o(\Delta x)}{dy}=1+\frac{o(\Delta x)}{f'(x)\cdot \Delta x}=1$$

3. 微分与导数的关系

• 函数 $f(x)$ 可微和 $f(x)$ 可导等价只适用于一元函数，多元函数可微可以推可导，但是可导不一定能推出可微。

一元函数可导和可微的推导：

• 可微推可导：因为可微，所以有 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，得到

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \Rightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A$$

• 所以函数可导。
• 可导推可微：因为可导，所以有 $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$，得到：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha(\alpha \rightarrow 0) \Rightarrow \Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x=A\Delta x+o(\Delta x)$$

• 所以函数可微。

4. 基本微分公式与微分法则

$$d[f(x)+g(x)] = df(x) + dg(x)$$

$$d[f(x)-g(x)] = df(x) - dg(x)$$

$$d[f(x)g(x)] = f(x)dg(x) + g(x)df(x)$$

$$d[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{g(x)df(x)-f(x)dg(x)}{g^2(x)} \ \ (g(x) \neq 0)$$