一、函数

1. 函数的概念

• 判断两个函数相等两个步骤：1. 定义域相同；2.对应法则相同。

2. 函数的几何性质

奇偶性

• 如果一个函数 $f(x)\neq f(-x)$ 且 $f(x)\neq -f(-x)$，那么就是非奇非偶函数。

• 0 即属于奇函数，又属于偶函数。

• 一个非零奇函数 + 一个非零偶函数 = 非奇非偶函数。

• 函数的复合：无论是 $f[g(x)]$ 还是 $g[f(x)]$ ，两个函数中只要有一个函数为偶数，复合以后的函数就是偶数。只有当两者都为奇数的时候，复合的结果才是奇数。

• 函数及其导数的奇偶性：

  • 如果 $f(x)$ 为奇函数，那么 $f'(x)$ 为偶函数。
  • 如果 $f(x)$ 为偶函数，那么 $f'(x)$ 为奇函数。

推导：

• 若 $f(x)$ 为奇函数，则有 $f(-x)=-f(x)$，两边分别求导得到：

$$-f'(-x) = -f'(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$$

• 若 $f(x)$ 为偶函数，则有 $f(-x)=f(x)$，两边分别求导得到：

$$-f'(-x) = f'(x) \Rightarrow f'(-x) = -f'(x)$$

• 函数及其原函数的奇偶性：

  • 如果 $f(x)$ 为奇函数，那么 $F(x)$ 全为偶函数。
  • 如果 $f(x)$ 为偶函数，那么 $F(x)$ 只有一个为奇函数(当 $c=0$ 时)。

推导：

• 在已知 $f(x)$ 为奇函数时，根据函数及其导数的奇偶性可以知道 $F(x)+c$ 是偶函数，又因为 $c$ 本身也是偶函数，所以 $F(x)$ 也是偶函数，故所有的 $F(x)$ 都是偶函数。
• 在已知 $f(x)$ 为偶函数时，根据函数及其导数的奇偶性可以知道 $F(x)+c$ 是奇函数。所以只有当 $c=0$ 的时候， $F(x)$ 为奇函数，其余都是非奇非偶函数。

所有讨论原函数问题，首先找变限积分函数 $\Theta(x)$。

$$\Theta(x) = \int_{a}^xf(t)dt，\Theta'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^xf(t)dt=f(x)(a\leq x\leq b)$$

所以 $f(x)$ 其中一个原函数就是 $F(x)=\int_{0}^xf(t)dt$，下面证明：

• 当 $f(x)$ 为奇函数的时候，

$$F(-x)=\int_{0}^{-x}f(t)dt=\int_{0}^{x}f(-\mu)-d\mu=\int_{0}^xf(\mu)d\mu=F(x)$$

• 所以所有的原函数 $F(x)+c$ 都是偶函数。
• 当 $f(x)$ 为偶函数的时候，

$$F(-x)=\int_{0}^{-x}f(t)dt=\int_{0}^{x}f(\mu)-d\mu=-\int_{0}^xf(\mu)d\mu=-F(x)$$

• 所以所有的原函数 $F(x)+c$ 只有当 $c=0$ 的时候为奇函数。

周期性

• 一个周期函数不一定有最小正周期，例如 $f(x) = C$，又如狄利克雷函数。

• 一个非常数的、连续的周期函数必有最小正周期。

• 函数及其导数的周期性：如果函数 $f(x)$ 是周期函数，那么其导函数 $f'(x)$ 也是周期函数，因为对等式 $f(x)=f(x+T)$ 两边同时求导，得到 $f'(x)=f'(x+T)$。

• 函数及其原函数的周期性：当 $f(x)$ 在一个周期上的积分为 $0$ 时，其原函数 $F(x)+c$ 为周期函数。

推导：

• 寻找变限积分函数 $\Theta(x)$，若 $f(x)$ 为周期函数：

$$F(x) = \int_a^x f(t)dt = F(x+T)= \int_a^{x+T} f(t)dt$$

$$\Longleftrightarrow \int_a^{x+T} f(t)dt- \int_a^x f(t)dt= \int_{x}^{x+T} f(t)dt=0$$

$$\Longleftrightarrow \int_0^Tf(t)dt = 0$$

• 所以当 $f(x)$ 在一个周期上的积分为 $0$ 时，则其原函数 $F(x)+c$ 为周期函数。

有界性

• 若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，则 $f(x)$ 有界。

• 减弱版：若 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续，且在 $x=a$ 处的右极限存在，在 $x=b$ 处的左极限存在，则 $f(x)$ 有界。

• 再减弱：若 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，并且 $x$ 在正无穷和负无穷处的极限都存在，则 $f(x)$ 有界。

例题：

$$证明：函数\ f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}在(-\infty,+\infty)有界$$

• $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，并且有：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{x^4+1}=0$$

• 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有界。

3. 函数构成与函数类

隐函数

• 隐函数的存在性：对于由方程 $F(x,y)=0$ ，有：

$$1. 若\ F(x_0,y_0)=0，F_y'(x_0,y_0) \neq 0，存在\ y对\ x的隐函数\ y=y(x)$$

$$2. 若\ F(x_0,y_0)=0，F_x'(x_0,y_0) \neq 0，存在\ x对\ y的隐函数\ x=x(y)$$

考研数学中常见的非处等函数

• 导函数：1. 所有导函数都没有第一类间断点。2. 所有导函数都具有介值性。

二、极限

3. 极限的性质

保号性

• 数列：若 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a>0(a<0)$，则 $\exist N >0$，当 $n>N$ 时，有 $a_n>0$。

推导：

• 因为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a>0$，所以 $\exist\ N_1>0$，当 $n>N_1$ 时，有 $|a_n-a|<\epsilon$。取 $\epsilon=a/2$，得到 $0<a/2< a_n< 3a/2$，所以当 $n>N_1$ 时，有 $a_n>0$。

• 拓展：若 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in(b,c)$，则 $\exist N >0$，当 $n>N$ 时，有 $a_n\in(b,c)$。

推导：
因为$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a>0$，所以 $\exist\ N_1>0$，当 $n>N_1$ 时，有 $|a_n-a|<\epsilon$。取 $\epsilon_1=a-b>0$，得到 $a_n>a-\epsilon_1=a-(a-b)=b$。同理 $\exist\ N_2>0$，取 $\epsilon_2=c-a>0$，得到 $a_n<a+\epsilon=a+(c-a)=c$。所以当 $n>max\{N_1,N_2\}$ 时，有 $a_n\in(b,c)$。

5. 极限存在的判别法则

夹逼定理

考察形式一

$$\lim_{n\rightarrow \infty}(u_1+u_2+\cdots+u_n),\lim_{n\rightarrow \infty}u_i=0$$

• 方法是 放缩成最大值和最小值：

$$u_{(n)}= \max\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}\\[2ex]u_{(1)}= \min\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}\\[2ex]\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}nu_{(1)}\leq \lim_{n\rightarrow \infty}(u_1+u_2+\cdots+u_n)\leq \lim_{n\rightarrow \infty}nu_{(n)}$$

• 弱化情况：

$$\lim[h(x)-g(x)]=0 \nRightarrow \lim f(x) 不一定存在$$

$$e.g.\ \ \ h(x)=n+\frac1n,\ g(x)=n-\frac1n$$

• 虽然弱化情况不能得到 $f(x)$ 存在极限，但是可以得到 $f(x)-g(x)$ 是夹在两个极限为 $0$ 的函数之间的，所以 $f(x)-g(x)$ 的极限是 $0$。

考察形式二

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n},\ \ a_i^n\rightarrow 常数A(包含0)\ or\ \infty$$

• 方法是 抓大头：

$$a_{(m)}=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$$

$$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{(m)}^n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{ma_{(m)}^n}$$

$$\Rightarrow a_{(m)}=\lim_{n\rightarrow \infty}a_{(m)}\leq \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty}m^{\frac1n}a_{(m)}=a_{(m)}$$

$$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=a_{(m)}=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$$

单调有界定理

• 数列单调递增有上界必定有极限，并且极限是上界中最小的那个（上确界 $\sup$）。

• 数列单调递减有下界必定有极限，并且极限是下界中最大的那个（下确界 $\inf$）。

• 考察形式：求某个数列的极限，给出的一般是递推形式 $a_{n+1}=f(a_n)$。

  • (1) 确定数列的单调性：一般采用作差 $a_{n+1}-a_{n}$ 或 比商 $a_{n+1}/a_{n}$ 或 定义法 $|a_n-a|<\epsilon$。
  • (2) 确定数列的有界性：一般用不等式或者数学归纳法。
  • (3) 确定数列的极限：利用不动点法解出极限的值。

作差法：

• 解法一：$a_{n+1}-a_{n} = f(a_{n})-a_{n} \Longleftrightarrow F(x)=f(x)-x$

• 解法二：$a_{n+1}-a_{n} = f(a_{n})-f(a_{n-1}) = f'(\xi)(a_{n}-a_{n-1})$

  • 如果 $f'(\xi)>0$，说明 $a_{n+1}-a_{n}$ 和 $a_{n}-a_{n-1}$ 同号，则要么 $a_{n+1}> a_{n}> a_{n-1}$ ，要么 $a_{n+1}< a_{n}<a_{n-1}$，只需要再比较一下 $a_1$ 和 $a_2$ 的关系即可。
  • 如果 $f'(\xi)<0$，说明 $a_{n+1}-a_{n}$ 和 $a_{n}-a_{n-1}$ 异号，不存在单调性。但如果满足 $|f'(x)|\leq r\leq 1$，同样可以得到 $\{a_n\}$收敛，叫做压缩映像原理。

6. 两个重要极限

• 求解 $1^{*}$ 和 $1^{\infty}$ 型极限：

$$\lim f(x) = 1,\ \lim g(x) 不做要求$$

$$\Rightarrow \lim f(x)^{g(x)}=\lim [1+f(x)-1]^{g(x)}\\[2ex]=\lim [1+f(x)-1]^{\frac{1}{f(x)-1}\cdot [f(x)-1]\cdot g(x)}=e^{\lim[f(x)-1]g(x)}$$

7. 特殊类型的极限

无穷小与无穷大的关系

• 注意如果 $f(x)$ 为无穷小，必须要保证 $f(x)\neq 0$ ，才能得到 $1/f(x)$ 为无穷大。
• 证明无穷大的问题都可以转换成证明无穷小的问题。

无穷大与无界的关系

• 无穷大一定无界，但是无界不一定无穷大。

说明：

• 无界的定义是：$\forall M >0$， $\exists\ x_0 \in D_f$，s.t. $|f(x_0)|>M$。（存在一个点）
• 无穷大的定义是：$\forall M >0$， $\exists\ X>0$，s.t. 当 $x>X$ 时，$|f(x_0)|>M$。（存在一个区间）

例子： $f(x)=x \sin x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上无界，但是并不是无穷大。

三、连续

2. 函数在区间内（上）连续的定义

• 证明函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，等价于证明：

  • $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 连续。
  • $f(a+0) = f(a)$，即函数在区间端点 $a$ 右连续。
  • $f(b-0) = f(b)$，即函数在区间端点 $b$ 左连续。

• 证明函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 连续，其实也是转换到证明函数在区间内任意一点连续，根据点的任意性得到函数在开区间连续。

3. 间断点及其分类

• 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续的定义易知：

  • $f(x)$ 在 $x=x_0$ 有定义。
  • $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的极限存在，即 $\lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)$
  • $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的极限等于函数值，即 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$

总结成一个等式，就是 $\lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$

• 分类：只要有左右极限有一个不存在，就是第二类间断点。如果左右极限都存在，那么就是第一类间断点。

• 找点：

  • 先找定义域内不存在的点。
  • 找分段函数的端点。

5. 闭区间连续函数的性质

• 对于两个函数形式相同、函数值在趋于极限时也相同的式子相减，可以考虑采用万能的拉格朗日中值定理。比如：

$$\lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}$$

• 常规的解法可以采用分子有理化，即：

$$\lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x -\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$$

$$=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x (1 -\cos x)}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}=\frac{x\cdot \frac12x^2}{2}=\frac{1}{4}x^3$$

• 如果采用拉格朗日中值定理，可以设 $f(t)=\sqrt{1+t}$，则存在 $\xi \in (\tan x ,\sin x)$，使得 $f(\tan x)- f(\sin x)=f'(\xi)\ (\tan x - \sin x)$，又因为当 $x\rightarrow 0$ 时，$\tan x \rightarrow 0, \sin x \rightarrow 0$，所以 $\xi \rightarrow 0$。

$$\lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x} = \lim_{x\rightarrow 0} \lim_{\xi \rightarrow 0}\frac{1}{2\sqrt{1+\xi}}(\tan x - \sin x)$$

$$=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}(\tan x -\sin x) =\frac12 \lim_{x\rightarrow 0}\tan x(1-\cos x)=\frac12\cdot x\cdot \frac12x^2=\frac14x^3$$